Глава 10. Статистические модели управления качеством

	Одна из наиболее важных областей статистических методов, приносящая к тому же наибольший доход - это обеспечение качества, основанное на применении статистического моделирования. Статистическим методам управления качеством и сертификации и посвящена настоящая глава.

10.1. Основы статистического контроля качества
 
	Сначала дадим общие сведения о месте статистических методов в принятии решений при управлении качеством и сертификации продукции. Затем рассмотрим статистический контроль качества и продемонстрируем его высокую экономическую эффективность.
	Качество продукции в современных условиях. Слова «сертификация», «международные стандарты ИСО (т.е. разработанные International Standardization Organization - Международной организацией по стандартизации, сокращенно ISO, по-русски - ИСО) серии 9000 по системам качества» уже навязли в зубах. Менее осознано в нашей стране, что управление качеством – прежде всего применение современных методов статистического моделирования. На Западе (США) и на Востоке (Япония) это - аксиома. Вот типичное высказывание японского менеджера и инженера: «Методы статистики - именно то средство, которое  необходимо изучить, чтобы внедрить управление качеством. Они - наиболее важная составная часть комплексной системы всеобщего управления качеством на фирме. В японских корпорациях все, начиная от председателя Совета Директоров и до рядового рабочего в цехе, обязаны знать хотя бы основы статистических методов». Так считает Каору Исикава, президент промышленного института Мусаси, заслуженный профессор Токийского университета [1, с.15].
	Раз все японские работники знают про статистические  методы - значит, их научили в школе. Во всем мире - в США, Японии и Ботсване - школьники учат статистические методы как один из обязательных школьных предметов, вместе с физикой, химией, математикой и историей. ЮНЕСКО регулярно проводит конференции по преподаванию статистики в средней школе. И вот всем виден результат - качество компьютеров IBM и японских телевизоров. Справедливости ради надо отметить, что популярные ныне международные стандарты ИСО серии 9000 ничем принципиально не отличаются от давних документов комплексных систем управления качеством продукции (КС УКП), а в некоторых отношениях КС УКП были более прогрессивными, чем нынешние стандарты ИСО 9000.  
	Очевидно, овладение основами статистического контроля качества продукции - неотъемлемая часть образования менеджера и инженера.
	О сертификации. Сертификация - это официальная гарантия поставки производителем продукции, удовлетворяющей установленным требованиям. Поставщики и продавцы должны иметь сертификаты качества на предлагаемые ими товары и услуги. Маркетинг включает в себя работы по сертификации. 
	За новыми терминами зачастую скрываются хорошо известные понятия, несколько модернизированные в соответствии с современной  обстановкой. Так, целесообразно связать КС УКП с маркетингом: как утверждают специалисты, маркетинг в широком смысле - это усовершенствованная, ориентированная на рыночную экономику КС УКП.
	Есть несколько уровней сертификации. Говоря о сертификации продукции, могут иметь в виду качество конкретной её партии. В ряде случаев это оправдано - рядового потребителя интересует качество лишь той единицы продукции, которую он сам приобрёл. Однако установление долговременных хозяйственных связей целесообразно лишь в случае, когда поставщик гарантирует высокое качество не одной, а всех партий своей продукции. Очевидно, для этого должны быть проведены оценка и сертификация технологических процессов и производств, обеспечивающих выпуск этой продукции.
	Ещё больше повышается доверие к поставщику, если не только отдельные технологические процессы, но и всё предприятие в целом гарантированно выпускает продукцию высокого качества. Это обеспечивается действующей на предприятии системой качества, удовлетворяющей требованиям Международной организации по стандартизации, выраженным в системе стандартов ИСО 9000.
	В условиях рыночной экономики основная характеристика товара - его конкурентоспособность. Очевидно, производителю необходимо уметь оценивать конкурентоспособность перед запуском продукции в производство или началом работы по продвижению на зарубежный рынок. Один из основных компонентов конкурентоспособности - технический уровень продукции. Фирма, обладающая патентом или новой научно-технической разработкой, имеет более высокий излишек производителя по сравнению с другими фирмами. При принятии решений о выборе направления инвестиционных вложений одна из основных учитываемых характеристик - технический уровень продукции.
	Из сказанного вытекает, что сертификация продукции - это современная форма управления качеством продукции. На Западе общепринято, что основная составляющая в управлении качеством продукции - это статистические методы. В нашей стране внедрение комплексных систем управления качеством (КС УКП), надо признать, сводилось во многом к подготовке документации. Статистические методы использовались в промышленности недостаточно, а государственные стандарты по этой тематике зачастую содержали грубейшие ошибки (см. ниже).
	Подготовка предприятий к сертификации продукции, технологических процессов и производств, систем качества требует приложения труда квалифицированных специалистов, причем в достаточно большом объеме. Подобную работу обычно проводят специализированные организации.
	О развитии статистических методов сертификации в России. Более 150 лет статистические методы применяются в России для проверки соответствия продукции установленным требованиям, т.е. для сертификации. Так, еще в 1846 г. действительный член Петербургской академии наук М.В. Остроградский рассматривал задачу статистического контроля партий мешков муки или штук сукна армейскими поставщиками. С тех пор в России в статистическом контроле качества было сделано многое, особенно в области теории: Кроме классических монографий Ю.К. Беляева и Я.П. Лумельского выпущены практические руководства, в основном переводные.
	С начала 1970-х гг. стали разрабатываться государственные стандарты по статистическим методам. В связи с обнаружением в них грубых ошибок 24 из 31 государственного стандарта по статистическим методам были отменены в 1986-87 гг. (перечень стандартов и описание ошибок приведены в работе [2]). К сожалению, потеряв правовую силу как нормативные документы, ошибочные стандарты продолжают использоваться как научно-технические издания.
	В 1989 г. был организован Центр статистических методов и информатики (ЦСМИ) для работ по развитию и внедрению современных статистических методов. Уже к середине 1990 г. ЦСМИ разработаны 7 диалоговых систем по современным статистическим методам управления  качеством (подробнее см. статью [2] и раздел 10.4).
	Параллельно ЦСМИ вел работу по объединению статистиков. В апреле 1990 г. в Московском энергетическом институте прошла Учредительная конференция Всесоюзной организации по статистическим методам и их применениям. На Учредительном съезде Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА) в октябре 1990 г. в Московском экономико-статистическом институте эта организация вошла в состав ВСА в качестве секции статистических методов. В 1992г. после развала СССР и фактического прекращения работы ВСА на основе секции статистических методов ВСА организована Российская ассоциация по статистическим методам (РАСМ), а затем и Российская академия статистических методов, существующие и в настоящее время. Коллективными усилиями разработан единый подход к проблемам принятия решений в сертификации и управлении качеством на основе применения современных статистических методов.
	Статистический контроль - это выборочный контроль на научной основе. Контроль качества продукции всем знаком хотя бы по названию - им обычно занимается отдел технического контроля (ОТК) предприятия. Есть различные виды контроля -  входной контроль, приемочный контроль (готовой продукции), и контроль при передаче полуфабрикатов и комплектующих из цеха в цех. Кроме сплошного контроля всех изделий подряд применяют выборочный, когда о качестве партии продукции судят по результатам контроля некоторой части - выборки. 
	Зачем нужен выборочный контроль? Чтобы проверить качество спички - надо чиркнуть ею. Загорится - должное качество, не загорится - брак. Но повторно однажды зажженную спичку использовать уже нельзя. Поэтому партию спичек можно контролировать только выборочно. Партии консервов, лампочек, патронов - тоже. То есть при разрушающем контроле необходимо пользоваться выборочными методами и судить о качестве партии продукции по результатам контроля её части - выборки.
	Выборочные методы контроля могут применяться и из экономических соображений, когда стоимость контроля высока по сравнению со стоимостью изделия. Например, вряд ли целесообразно визуально проверять качество каждой скрепки в каждой коробке.
	Для проведения выборочного контроля необходимо сформировать выборку, выбрать план контроля. А если план имеется - полезно знать его свойства. Анализ и синтез планов проводят с помощью математического моделирования на основе теории вероятностей и математической статистики, применяя компьютерные диалоговые системы (пакеты программ).
	Компьютерные диалоговые системы позволяют, прежде всего, проводить анализ и синтез планов контроля. Пусть перед вами - ГОСТ на продукцию, в нем есть раздел «Правила приемки» с планами контроля. Хороша эта система планов или плоха? С помощью диалоговых систем Вы найдете характеристики конкретного плана, приемочный и браковочный уровни дефектности (см. ниже) и т.д. Можно провести и синтез планов, т.е. компьютер поможет принять решение в новых условиях - подберет план, удовлетворяющий вашим условиям.
	РАСМ проанализированы сотни стандартов на конкретную продукцию (разделы «Правила приемки») и ГОСТы по статистическим методам. Обнаружено, что более половины и тех и других стандартов содержат грубые ошибки, пользоваться ими нельзя. Причины появления ощибок проанализированы в статье [2].  
	 По оценкам РАСМ, применение современных статистических методов позволяет в среднем вдвое сократить трудозатраты на контрольные операции (как известно, они составляют примерно 10% от себестоимости машиностроительной продукции). Следовательно, от повышения эффективности решений менеджеров на основе внедрения современных статистических методов обеспечения качества продукции Россия может получить более 5 млрд. долл. дополнительного дохода в год.
	Приведем ещё два сообщения о высокой экономической эффективности статистического контроля [3]. «Мы документально зафиксировали экономию от применения методов статистического контроля и методов принятия решений, которым обучили наших сотрудников. Мы приближаемся к степени окупаемости около 30 долларов на 1 вложенный доллар. Вот почему мы получили такую серьезную поддержку от высшего руководства», - сообщает Билл Виггенхорн, ответственный за подготовку специалистов фирмы «Моторола». По подсчетам профессора Массачусетского технологического института Фримена, только статистический приемочный контроль давал промышленности США 4 млрд. долл. в 1958 г. (10 млрд. долл. в ценах 2010 г.), т.е. около 0,8% ВВП.
	Основы теории статистического контроля. Выборочный контроль, построенный на научной основе теории вероятностей и математической статистики, называют статистическим контролем. Организатора производства и менеджера выборочный контроль может интересовать не только в связи с качеством продукции, но и в связи, например, с контролем экологической обстановки, поскольку зафиксированные государственными органами экологические нарушения влекут штрафы и иные «неприятные» последствия. К выборочному контролю вынуждены прибегать при аудиторской проверке организации, поскольку сплошной анализ всего массива документов бухгалтерского или управленческого учета весьма трудоемок, а потому практически невозможен. Обсудим основные идеи статистического контроля.
	При статистическом контроле решение о генеральной совокупности – об экологической обстановке в данном регионе или о партии продукции - принимается по выборке, состоящей из некоторого количества единиц (отдельных документов бухгалтерского или управленческого учета, единиц экологического контроля или единиц продукции). Следовательно, выборка должна представлять партию, т.е. быть репрезентативной (представительной). Как эти слова понимать, как проверить репрезентативность? Ответ может быть дан лишь в терминах вероятностных моделей выборки (см. главу 1).
	Как известно, наиболее часто применяют биномиальную и гипергеометрическую модели. В первой из них предполагается, что результаты контроля n рассматриваемых единиц можно рассматривать как совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин Х1, Х2,....,Хn , где Хi = 1, если i‑ое измерение показывает, что имеется нарушение, т.е. превышено ПДК (предельная норма концентрации) или i‑ое изделие дефектно, и Хi = 0, если это не так. Тогда число Х превышений ПДК (при другой интерпретации - дефектных единиц продукции в партии) равно
Х= Х1+ Х2+...+ Хn .	(10.1)
	Из формулы (10.1) и Центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. главу 14) вытекает, что при увеличении объема выборки n распределение Х сближается с нормальным распределением. Известно, что распределение Х имеет вид
Р(Х= k) =  Cnk pk (1—p)n-k , 	(10.2)
где Cnk - число сочетаний из n элементов по k, а p —уровень дефектности (в другой предметной области - в экологии - доля превышений ПДК в генеральной совокупности), т.е. p = Р(Хi = 1). Как известно, формула (10.2) задает биномиальное распределение.
	Вторая модель - гипергеометрическая - соответствует случайному отбору единиц в выборку. Пусть среди N единиц, составляющих генеральную совокупность, имеется D дефектных. Случайность отбора означает, что каждая единица имеет одинаковые шансы попасть в выборку. Более того, ни одна пара единиц не имеет преимущества перед любой другой парой при отборе в выборку. То же самое — для троек, четверок и т.д. Итак, каждое из  сочетаний по n единиц из N имеет одинаковую вероятность быть отобранным в качестве выборки, равную, очевидно, 1/.
	Отбор случайной выборки согласно описанным правилам организуют при проведении различных лотерей. Пусть Y —число дефектных единиц в такой выборке. Известно, что тогда P(Y = k) – гипергеометрическое распределение, т.е.
.		(10.3)
	Известно, что биномиальная и гипергеометрическая модели весьма близки, когда объем генеральной совокупности (партии) по крайней мере в 10 раз превышает объем выборки, т.е.  
Р(Х = k) = P(Y = k),	(10.4)
если объем выборки мал по сравнению с объемом партии. При этом в качестве p в формуле (10.4) берут D/N. 
	Близость результатов, получаемых с помощью биномиальной и гипергеометрической моделей, весьма важна с методологической точки зрения. Дело в том, что эти модели исходят из принципиально различных модельных предпосылок. В биномиальной модели случайность присуща каждой единице - она с какой-то вероятностью дефектна, а с какой-то - годна. В то же время в гипергеометрической модели качество определенной единицы детерминировано, задано, а случайность проявляется лишь в отборе, вносится инженером, экологом или экономистом при составлении выборки. 
	Соотношение (10.4) показывают, что во многих случаях нет необходимости выбирать одну из моделей, поскольку обе дают близкие численные результаты. Отличия проявляются при обсуждении вопроса о том, какую выборку считать представительной. Является ли таковой выборка, составленная из 20 изделий, лежащих сверху в первом вскрытом ящике? В биномиальной модели вполне допустим ответ «да», в гипергеометрической -  только «нет».
	Биномиальная модель легче для теоретического изучения, поэтому будем её рассматривать в дальнейшем. Однако при реальном контроле лучше формировать выборку, исходя из гипергеометрической модели. Это делают, выбирая номера изделий (для включения в выборку) с помощью датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ или с помощью таблиц псевдослучайных чисел. Алгоритмы формирования выборки встраивают в современные программные продукты по статистическому контролю.
	Планы статистического контроля и правила принятия решений. Под планом статистического контроля понимают алгоритм, т.е. правила действий при контроле. На «входе» при этом - генеральная совокупность (партия продукции), а на «выходе» - одно из двух решений: «принять партию» либо «забраковать партию». Рассмотрим несколько примеров.
	Одноступенчатые планы контроля (n, c): отобрать выборку объема n; если число дефектных единиц в выборке X не превосходит c, то партию принять, в противном случае забраковать. Число с называется «приемочным числом».
	Частные случаи: план (n, 0) - партию принять тогда и только тогда, когда все единицы в выборке являются годными; план (n, 1) - партия принимается, если в выборке все единицы являются годными или ровно одно - дефектное, во всех остальных случаях партия бракуется.
	Двухступенчатый план контроля (n, a, b) + (m, c): отобрать первую выборку объема n; если число дефектных единиц в первой выборке X не превосходит a, то партию принять; если число дефектных единиц в первой выборке X больше или равно b, то партию забраковать; во всех остальных случаях, т.е. когда Х больше a, но меньше b, следует взять вторую выборку объема m; если число дефектных единиц во второй выборке Y не превосходит c, то партию принять, в противном случае забраковать.
	Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала берется первая выборка объема 20. Если все единицы в ней - годные, то партия принимается. Если две или больше - дефектные, партия бракуется. А если только одно - дефектное? В реальной ситуации в таких случаях начинаются споры между представителями предприятия и экологического контроля, или поставщика и потребителя. Говорят, например, что дефектная единица случайно попала в партию, что ее подсунули конкуренты или что при контроле случайно сделан неправильный вывод. Поэтому, чтобы споры пресечь, берут вторую выборку объема 40 (вдвое большего, чем в первый раз). Если все единицы во второй выборке - годные, партию принимают, в противном случае - бракуют.
	В реальной нормативно-технической документации - договорах на поставку, технических регламентах, стандартах, технических условиях, инструкциях по экологическому контролю и т.д. - не всегда четко сформулированы планы статистического контроля и правила принятия решений. Например, при описании двухступенчатого плана контроля вместо задания приемочного числа с может стоять загадочная фраза «результат контроля второй выборки считается окончательным». Остается гадать, как принимать решение по второй выборке. Менеджер, администратор (государственный служащий), инженер, эколог или экономист, занимающийся вопросами экологического контроля или контроля качества, должен первым делам добиваться кристальной ясности в формулировках правил принятия решений, иначе ошибочные и необоснованные решения, а потому и убытки неизбежны.
	Оперативная характеристика плана статистического контроля. Каковы свойства плана статистического контроля? Они, как правило, определяются с помощью функции f(p), связывающей вероятность p дефектности единицы контроля с вероятностью f(p) приемки партии, положительной оценки экологической обстановки или правильности ведения бухгалтерской документации по результатам контроля. Вероятность p того, что конкретная единица дефектна, называется входным уровнем дефектности, а указанная функция называется оперативной характеристикой плана контроля. Если дефектные единицы отсутствуют, р = 0, то партия всегда принимается, т.е. f(0) = 1. Если все единицы дефектные, р = 1, то партия наверняка бракуется, f(1) = 0. Между этими крайними значениями р функция f(p) монотонно убывает. При изучении свойств плана входной уровень дефектности р - свободный параметр, он может принимать любые значения между 0 и 1.
	Вычислим оперативную характеристику плана (n, 0). Поскольку партия принимается тогда и только тогда, когда все единицы являются годными, а вероятность того, что конкретная единица - годная, равна (1 ‑ р), то оперативная характеристика имеет вид
f(p) = Р(Х=0) = (1—р)n.	(10.5)
Для плана (n, 1) оперативная характеристика, как легко видеть, такова:
f(p) = Р(Х=0)+Р(Х=1) = (1—р)n + nр (1—р)n-1.	(10.6)
	Оперативные характеристики для конкретных планов статистического  контроля не всегда имеют такой простой вид, как в случае формул (10.5) и (10.6). Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала найдем вероятность того, что партия будет принята по результатам контроля первой партии. Согласно формуле (10.5) имеем:
f1(p) = Р(Х=0) = (1—р)20.
Вероятность того, что понадобится контроль второй выборки, равна 
Р(Х=1) = 20р(1—р)19.
При этом вероятность того, что по результатам её контроля партия будет принята, равна
f2(p) = Р(Х=0) = (1—р)40.
Следовательно, вероятность того, что партия будет принята со второй попытки, т.е. что при контроле первой выборки обнаружится ровно одна дефектная единица, а затем при контроле второй — ни одной, равна
f3(p) = Р(Х=1) f2(p) = 20р(1—р)19(1—р)40 = 20р(1—р)59.
Следовательно, вероятность принятия партии с первой или со второй попытки равна
f(p) = f1(p) + f3(p) = (1—р)20+ 20р(1—р)59.
При практическом применении методов статистического приемочного контроля для нахождения оперативных характеристик планов контроля вместо формул, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы.
	Риск поставщика и риск потребителя, приемочный и браковочный уровни дефектности. С оперативной характеристикой связаны важные понятия приемочного и браковочного уровней дефектности, а также понятия «риск поставщика» и «риск потребителя». Чтобы ввести эти понятия, на оперативной характеристике выделяют две характерные точки, делящие входные уровни дефектности на три зоны (области) - А, Б и В. В зоне А почти всегда все хорошо, а именно - почти всегда экологическая обстановка признается благополучной, почти все партии принимаются. В зоне В, наоборот, почти всегда все плохо, а именно - почти всегда экологический контроль констатирует экологические нарушения, почти все партии бракуются. Зона. Б - буферная, переходная, промежуточная, в ней как вероятность приемки, так и вероятность браковки заметно отличаются от 0 и 1. Для задания границ между зонами выбирают два малых числа—риск поставщика (производителя, предприятия)  и риск потребителя (заказчика, системы экологического контроля) , при этом границы между зонами задают два уровня дефектности - приемочный pпp и браковочный pбр, определяемые из уравнений
f(pпp) = 1—,  f(pбр) = . 	(10.7)
	Таким образом, если входной уровень дефектности не превосходит pпp, вероятность забракования партии мала, т.е. не превосходит . Приемочный уровень дефектности выделяет зону А значений входного уровня дефектности, в которой нарушения экологической безопасности почти всегда не отмечаются, партии почти всегда принимаются, т.е. соблюдаются интересы проверяемого предприятия (в экологии), поставщика (при контроле качества). Это - зона комфортности для поставщика. Если он обеспечивает работу (входной уровень дефектности) в этой зоне, то его практически никогда никто не потревожит.
	Если же входной уровень дефектности больше браковочного уровня дефектности pбр, то нарушения почти наверняка фиксируются, партия почти всегда бракуется, т.е. экологи узнают о нарушениях, потребитель оказывается защищен от попадания к нему партий со столь высоким уровнем брака. Поэтому можно сказать, что в зоне В соблюдаются интересы потребителей - брак к ним не попадает.
	При выборе плана контроля часто начинают с выбора приемочного и браковочного уровней дефектности. При этом выбор конкретного значения приемочного уровня дефектности отражает интересы поставщика, а выбор конкретного значения браковочного уровня дефектности - интересы потребителя. Можно доказать (см. следующий раздел), что для любых положительных чисел  и  и любых входных уровней дефектности pпp и pбр, причем pпp меньше pбр, найдется план контроля (n, c) такой, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам
f(pпp) > 1 - ,  f(pбр)  < .
При практических расчетах обычно принимают  = 0,05 (т.е. 5%) и  = 0,1 (т.е. 10%).
	В качестве примера вычислим приемочный и браковочный уровни дефектности для плана (n, 0). Из формул (10.5) и (10.7) вытекает, что
(1 - pпp)n = 1 - , pпp = 1 - (1 - )1/n.
Поскольку риск поставщика  мал, то из известного соотношения математического анализа 

вытекает приближенная формула
pпp 
Для браковочного уровня дефектности имеем
pбр = 1 - 1/n.
	Пример. Для плана (10, 0) pпp = 0,05/10 = 0,005 (т.е. допустим один дефект на 200 возможностей), а pбр = 1 – 0,11/10 = 1 – 0,794 = 0,206 (один дефект на 5 возможностей).
	При практическом применении методов статистического приемочного контроля аналитическими формулами, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, не пользуются. Для нахождения приемочных и браковочных уровней дефектности планов контроля вместо них применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы. Такие таблицы имеются в нормативно-технической документации или научно-технических публикациях.
	Предел среднего выходного уровня дефектности. Обсудим судьбу забракованной партии продукции. В зависимости от ситуации эта судьба может быть разной. Партия может быть утилизирована. Например, забракованная партия гвоздей может быть направлена на переплавку. У партии может быть понижена сортность, и она может быть продана по более низкой цене (при этом результаты выборочного контроля будут использованы не только для констатации того, что не выдержан заданный уровень качества, но и для оценки реального уровня качества). Наконец, партия продукции может быть подвергнута сплошному контролю (для этого обычно привлекают инженеров из всех заводских служб). При сплошном контроле все дефектные изделия обнаруживаются и либо исправляются на месте, либо извлекаются из партии. В результате в партии остаются только годные изделия. Такая процедура называется «контроль с разбраковкой». 
	При среднем входном уровне дефектности р и применении контроля с разбраковкой с вероятностью f(p) партия принимается (и уровень дефектности в ней по-прежнему равен р) и с вероятностью (1 - f(p)) бракуется и подвергается сплошному контролю, в результате чего к потребителю поступают только годные изделия. Следовательно, по формуле полной вероятности средний выходной уровень дефектности равен
f1(p)= pf(p) +0(1 - f(p)) = pf(p).
Средний выходной уровень дефектности f1(p) равен 0 при р = 0 и р = 1, положителен на интервале (0; 1), а потому достигает на нем максимума, который в теории статистического контроля называется пределом среднего выходного уровня дефектности (сокращенно ПСВУД):
ПСВУД = 
	Пример. Рассмотрим план (n, 0). Для него f(p) = (1 - p)n и f1(p) = p(1-p)n. Чтобы найти ПСВУД, надо приравнять 0 производную среднего выходного уровня дефектности по среднему входному уровню дефектности:

В полученном уравнении корень р = 1 соответствует минимуму, а не максимуму. Поскольку непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает максимума, то максимум достигается при 

Следовательно, 
ПСВУД = 	(10.8)
	По выражению (10.8) могут быть проведены конкретные расчеты. Однако оно довольно громоздко. Его можно упростить, используя один замечательный предел из курса математического анализа, а именно:
	(10.9)
Сравнивая соотношения (10.8) и (10.9), видим, что 
ПСВУД = 
Первая скобка равна 1/n, а вторая согласно соотношению (10.9) приближается к 0,368 при росте объема выборки. Поэтому получаем простую асимптотическую формулу 
ПСВУД 
Для более сложных планов ПСВУД рассчитывают с помощью более или менее сложных компьютерных программ. 
	При рассмотрении основ статистического контроля в настоящем пункте расчетные формулы удалось получить лишь для простейших планов, в основном для планов вида (n, 0). Если ослабить требования и рассчитывать не на точные формулы, а на асимптотические, при , то можно справиться и с одноступенчатыми планами вида (n, c). 

10.2. Асимптотическая теория одноступенчатых планов

	Пусть Х - число дефектных единиц продукции в выборке объема n. Принимаем, что распределение Х является биномиальным и имеет вид
Р(Х = k) = Cnk pk (1—p)n - k,
где Cnk - число сочетаний из n элементов по k, а 	p - входной уровень дефектности.
	Пусть используется одноступенчатый план контроля (n, c). Тогда оперативная характеристика этого плана имеет вид

	Пусть  Тогда по Закону больших чисел теории вероятностей (по теореме Бернулли) 

(сходимость по вероятности). 
	Значит, если с/n окажется заметно больше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда приниматься, а если с/n окажется заметно меньше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда отклоняться. Ситуация будет нетривиальной только там, где  величины с/n и р близки друг к другу. 
	Хотя оперативная характеристика рассчитывается с помощью сумм биномиальных вероятностей, анализировать эти суммы затруднительно. Поэтому целесообразно найти для нее приближение с помощью теоремы Муавра-Лапласа. Имеем цепочку тождественных преобразований:

Справа строит именно то выражение, которое участвует в теореме Муавра-Лапласа. Воспользовавшись равномерной сходимостью в этой теореме, можно записать, что 

где (х) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. 
	Последняя формула позволяет указать асимптотические выражения для приемочного и браковочного уровней дефектности. Действительно, согласно определениям этих понятий
	(10.10)
откуда с помощью элементарных преобразований получаем, что
	(10.11)
Так как величины с/n и р близки друг к другу, то при переходе от формулы (10.10) к формуле (10.11) в подкоренных выражениях приемочный и браковочный уровни дефектности заменены на c/n (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка).
	Поскольку при практическом применении статистического приемочного контроля, как уже отмечалось, принимают  = 0,05,  = 0,10, то в предыдущие формулы следует подставить  = 1,64 и  Итак, итоговые формулы для приемочного и браковочного уровней дефектности имеют вид

	Перейдем к задаче синтеза. Пусть заданы приемочный и браковочный уровни дефектности. Требуется построить одноступенчатый план, имеющий эти характеристики. Из формул (10.10) следует, в частности, что
	(10.12)
Вычитая из первого уравнения второе, получаем, что

Следовательно, оценка необходимого объема выборки имеет вид
.
Для стандартных значений рисков = 0,05, =0,10 имеем:
 	(10.13)
	С помощью уравнений (10.12) нетрудно найти оценку с* приемочного числа, заменив неизвестный объем выборки на его оценку n*. Будем использовать оценку

Для стандартного значения  = 0,10 имеем
	(10.14)
	Итак, по формуле (10.13) можно рассчитать оценку объема выборки, затем по формуле (10.14) найти оценку приемочного числа. Необходимо отметить, что результаты расчетов по рассматриваемым асимптотическим формулам отнюдь не всегда дают целые числа, поэтому необходима корректировка полученных результатов – округление до целых чисел.
	Полученные формулы позволяют решить сформулированную выше задачу - по заданным приемочному и браковочному уровням дефектности подобрать такой одноступенчатый план контроля, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам
f(pпp) > 1 - ,  f(pбр)  < .
Поэтому при практической работе корректировка асимптотических результатов должна быть направлена на выполнение указанных неравенств. 
	Пример. Пусть pпp = 0,02, pбр = 0,09. Тогда по формуле (10.13) оценка объема выборки равна 

Полученное число не является натуральным, поэтому вполне естественно откорректировать объем выборки до ближайшего целого, т.е. до n* = 72.
	Оценку приемочного числа находим по формуле (10.14):

Полученное число не является целым, поэтому в качестве приемочного числа надо взять ближайшее целое, т.е. до 3.  
	Если объем выборки округлить до 73, то аналогично получим

При округлении снова получаем 3.
	С помощью первого из уравнений (10.12) можно построить оценку с* на основе приемочного уровня дефектности:
.
Подставив конкретные значения, получим практически ту же оценку, что и раньше:
.
	Итак, в результате асимптотических расчетов найден одноступенчатый план (72, 3).
 
10.3. Практическое применение статистического контроля
 
	Познакомившись с некоторыми основными понятиями, подходами и идеями теории статистического контроля качества, обсудим подробнее практические стороны этой технико-экономической области.
	Анализ и синтез планов контроля. На основе теории статистического контроля можно проанализировать планы контроля качества, имеющиеся в нормативно-технической документации (стандартах, технических условиях) и в договорах на поставку продукции и оказание услуг. Достаточно часто оказывается, что формулировки соответствующих разделов (разделов «Правила приемки», «Методы контроля» и др.) имеют различные недостатки и неточности, что может послужить в дальнейшем причиной к возникновению арбитражных ситуаций (т.е. решаемых через арбитражные или иные суды). 
	Если обсуждаемая система контроля качества выдерживает чисто логическую проверку, наступает вторая стадия - анализ с точки зрения теории статистического контроля. На этой стадии рассчитывают характеристики применяемых планов контроля. О некоторых из них уже шла речь - приемочный и браковочный уровни дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности. Есть и иные показатели, например, средний используемый объем выборки, средняя стоимость контроля, и т.п. Особенно важна прогнозируемая доля арбитражных ситуаций (споров между предприятиями) при используемой системе контроля. 
	На стадии анализа возможны неожиданные «открытия». Например, может оказаться, что существующая система контроля качества, хотя и является формально безупречной, но защищает лишь от приемки столь плохих партий продукции, в которых более половины единиц продукции дефектно (т.е. для применяемых планов контроля браковочный уровень дефектности больше 0,5). Или что система контроля защищает интересы поставщиков, у которых каждое пятое изделие является бракованным (приемочный уровень дефектности равен 0,2).
	Замечание. До сих пор постоянно говорилось о контроле единиц и партий продукции. Однако нет никакого принципиального отличия с контролем услуг (медицинских, туристических, транспортных, образовательных, банковских и иных) или документации. Поэтому теория и практика статистического контроля качества продукции дает полезные рекомендации для банковского дела и бухгалтерского аудита. Надо только аккуратно заменить слова, описывающие предметную область применения теории статистического контроля.  
	После анализа ситуации с системой контроля естественно перейти к улучшению этой системы, к обоснованному выбору планов, к этапу синтеза. В зависимости от конкретных условий используются разнообразные подходы к выбору планов. Например, задают приемочный и браковочный уровни дефектности. В случае контроля с разбраковкой естественно использовать ограничения на предел среднего выходного уровня дефектности.
	Какая оптимизация планов статистического контроля  возможна? Обсудим подробнее оптимизационные постановки в статистическом приемочном контроле. Очевидно, имеется три вида затрат и потерь:
	- затраты непосредственно на проведение контроля единиц продукции, включенных в выборку,
	- потери в случае неверного решения о забраковании партии продукции (в которой на самом деле доля дефектной продукции соответствует требованиям договора между поставщиком и потребителем или иной нормативно-технической документации);
	- потери в случае неверного решения о принятии партии продукции (в которой на самом деле доля дефектной продукции не соответствует требованиям договора между поставщиком и потребителем или иной нормативно-технической документации).
	Первые два вида затрат непосредственно связаны с деятельностью предприятия, на котором производится продукция, третий же вид затрат (потерь) формируется там, где она потребляется. С этим связана принципиальная сложность подсчета затрат третьего вида. Особенно эта сложность проявляется тогда, когда попадание к потребителю дефектных изделий может привести к авариям с человеческими жертвами. Тогда возникает вопрос: сколько стоит человеческая жизнь? Только оценив потери здоровья и жизни в денежных единицах, можно сформировать функционал качества плана статистического контроля и затем оптимизировать его. Поскольку невозможно (из этических и религиозных соображений) выразить стоимость человеческой жизни в денежных единицах, нельзя сформировать функционал качества плана статистического контроля и тем более оптимизировать его.
	К счастью, для большинства видов продукции вопрос о денежной оценке человеческой жизни не возникает. Проблема обычно «всего лишь» в том, что выпущенная продукция используется разнообразными конечными потребителями, а потому оценить отрицательный эффект повышения доли ее дефектности затруднительно.
	Поэтому наряду с функционалом качества, включающим все три вида затрат, рассматривают «условный» функционал на основе затрат первых двух типов, а на вероятность принятия партии продукции, в которой доля дефектной продукции не соответствует требованиям нормативно-технической документации, накладывают ограничение, т.е. третий вид затрат учитывают в качестве ограничения.
	Должны ли совпадать планы контроля у поставщика и потребителя? Естественно также по-разному проводить контроль у поставщика (производителя) и потребителя (заказчика). Пусть для определенности поставщик используют план  а потребитель -  Тогда естественно зафиксировать в договоре о поставке, что  Такая договоренность обеспечит тщательный контроль со стороны изготовителя и почти автоматическое подтверждение приемки со стороны потребителя (т.е. отсутствие спора). 
	Одна из распространенных догм: изготовитель и потребитель должны проводить контроль по одним и тем же планам контроля. Если план контроля и входной уровень контроля таков, что ситуация контроля относится к буферной зоне Б, т.е. вероятность приемки партии заметно отличается от 0 и 1, то указанная догма приводит к высокой вероятности спорных ситуаций. Пусть, например, оперативная характеристика равна 0,5. Пусть изготовитель принял партию (с вероятностью 0,5). После этого при независимом контроле у потребителя с той же вероятностью 0,5 она может быть отклонена и с вероятностью 0,5 принята. Значит, общий итог таков: 50% за то, что партия будет забракована у поставщика, 25% - за спорную ситуацию (поставщик принял, потребитель забраковал), 25% - за принятие и поставщиком и потребителем. Конечно, рассмотрен крайний случай - наиболее частое появление спорных ситуаций. Но реальное появление 10-15% арбитражных споров - это типовая ситуация в 80-е гг.
	Один из вариантов выбора планов контроля поставщиком и потребителем выглядит так. Стороны договариваются о некотором «приемлемом» входном уровне дефектности р*. Затем поставщик выбирает план контроля, используя р* как браковочный уровень дефектности, а потребитель - рассматривая р* как приемочный уровень дефектности. Подробнее об анализе, синтезе и оптимизации планов статистического контроля рассказано в специальной литературе.
	Усеченные планы. Пусть единицы продукции контролируются одна за другой (т.е. последовательно). Рассмотрим план статистического контроля (60, 3). Пусть при проверке единицы продукции появляются в таком порядке: дефектная, дефектная, дефектная, дефектная,… Четыре дефектные единицы подряд! Надо ли дальше проверять выборку? Исходя из здравого смысла - нет. Ведь совершенно неважно, каковы будут результаты по остальным 59-и единицам продукции, окажутся они годными или дефектными - 4 дефектные единицы уже есть, и партию следует забраковать. Контроль мог бы быть прекращен и тогда, когда при проверке 57 единиц все 57 окажутся годными - независимо от качества остальных 3 партию надо принимать.
	Усеченные планы - это планы статистического контроля, в которых контроль разрешается прекращать, если итог (принятие или забракование партии) становится ясен ранее, чем проведен контроль всех включенных в выборку единиц продукции. Усеченные планы применяются, когда единицы продукции поступают на контроль последовательно, одна за другой (или группа за группой). Это не всегда так. Если, например, план (60, 3) применяется для контроля качества электролампочек, и все 60 лампочек ввернуты в гнезда на испытательном стенде и одновременно включены, то подход  на основе усеченных планов применить нельзя.
	Возможность применения усеченных планов должна быть явным образом указана в нормативно-технической документации и в договорах на поставку. Опишем юридический казус, связанный с усеченными планами. В ГОСТе на штангенциркули предусмотрен план контроля (20, 0). Органы Госстандарта проверяли завод «Точнометр» (название изменено). Проверили первый штангенциркуль - дефектен, второй - дефектен,…, десятый - дефектен. На этом комиссия остановилась, вполне резонно (с точки зрения здравого смысла) решив, что партия штангенциркулей должна быть забракована. Органы Госстандарта наложили на завод «Точнометр» штраф за выпуск некачественной продукции (в соответствии с действующим в то время правопорядком). Однако завод опротестовал это решение в суде. И суд удовлетворил  протест, ссылаясь на то, что порядок проведения контроля качества штангенциркулей нарушен! Бракоделы не смогли бы уйти от наказания, если бы в соответствующих документах была бы прописана возможность использования усеченных планов.
	Выделение единиц бесформенной (жидкой, газообразной) продукции. Во всем предыдущем изложении постоянно встречается термин «единица продукции». Он вполне ясен, если речь идет об отдельных изделиях - дискетах, коробках спичек, патронах, бутылках минеральной воды, электробритвах, или отдельных деталях - болтах, гвоздях, пластмассовых дисках…  Однако многие виды продукции имеют иной вид - газообразный, жидкий или, как говорят, бесформенный (порошкообразный, желеобразный,…). Как быть с ними? В работе [4] предложен подход, позволяющий применить к бесформенной продукции методы статистического контроля качества. 
	Основное - это выделить единицу продукции. Она не должна быть очень малой, поскольку ясно, что в бесформенной продукции свойства вещества в близких точках близки. Основная идея - взять некоторое количество пар точек, отстоящих друг от друга на определенное расстояние, и выяснить, есть связь (т.е. значим ли ранговый коэффициент корреляции Спирмена - см. главу 6.1) между значениями изучаемого свойства в этих парах точек или нет. Если связь есть, значит, точки разнесены на недостаточное расстояние, другими словами, точки относятся к одной и той же единице продукции. Поэтому расстояние между точками надо увеличить. Если связь уже не обнаруживается, то это значит, что они относятся к разным единицам продукции. В процессе увеличения расстояния тем самым была оценена величина ребра куба, в виде которого условно представляем себе единицу бесформенной продукции. Разбив бесформенную продукцию на единицы, можно применять описанные выше подходы для контроля ее качества (подробнее см. [4]). 
	Отбор случайной выборки при статистическом контроле качества продукции. Как и при любом выборочном обследовании, при статистическом контроле качества продукции остро строит проблема отбора репрезентативной (представительной) выборки (см. главу 1 выше). Эта проблема усугубляется экономической заинтересованностью участников процесса. Наиболее научно-обоснованным является использование датчиков псевдослучайных чисел (а не таблиц или физических датчиков случайных чисел). 
	Исходя из экономической и технической целесообразности, популярна схема многоступенчатой выборки. Например, из 15 вагонов отобрать вагон № 5, из него - контейнер №3 около двери (из 12 контейнеров), из контейнера №3 - ящики №№ 7, 15 и 23, а из этих ящиков - каждое пятое изделие. При этом описании составления выборки совершенно ясно, что реально классическая случайная выборка может быть организована лишь при контроле контейнера №3, и остается только надеяться, что он является типичным для всей партии. 
	Всегда ли нужен контроль качества продукции? Чем выше достигнутый уровень качества, тем больше необходимый объем контроля - таков парадокс классической теории статистического контроля. Возможный выход состоит в переходе к принципиально новому подходу, обеспечивающему существенное расширение возможностей менеджера при выборе технической политики на основе учета экономических рисков. При этом оказывается, что даже «перекладывание» контроля на потребителя может быть экономически выгодно, если производитель организовал защиту от риска методом пополнения партий или путем развития технического обслуживания.
	В государственных стандартах, технических условиях, другой нормативно-технической документации, относящейся к потребительским товарам и услугам, различным изделиям, веществам, материалам, иным видам продукции, а также в договорах между поставщиками и потребителями обычно присутствуют разделы «Правила приемки и методы контроля». Поэтому, в частности, методы статистического контроля качества продукции являются важной составной частью статистических методов сертификации, которым посвящена работа [2]. Имеется соответствующая вероятностно-статистическая теория, посвященная анализу и синтезу (выбору) планов контроля. Однако эта теория вообще не предусматривает отказа от контроля, поскольку игнорирует возможность перехода на иную стратегию организации взаимоотношений поставщика и потребителя, например, на стратегию технического обслуживания, при которой выходной контроль не проводится, а обнаруженные потребителями дефектные изделия заменяются годными или ремонтируются. Основная обсуждаемая в настоящем пункте идея - обоснование необходимости включения теории статистического приемочного контроля в более широкую технико-экономическую теорию взаимоотношений поставщиков и потребителей и целесообразности перехода при повышении качества продукции от контроля качества к иным способам защиты потребителя, например, к развитому техническому обслуживанию или к поставке запасных единиц продукции.
	Использование экономических показателей при выборе планов статистического (выборочного) контроля пропагандировалось давно, но делалось это в рамках парадигмы обязательности контроля. Здесь рассматривается более широкая  система взглядов, согласно которой контроль качества продукции - лишь один из способов урегулирования взаимоотношений между поставщиками и потребителями.
	Речь идет об отказе от получения детальной информации, если она стоит слишком дорого, и переходе к использованию иных механизмов управления. Так, качественные методы химического анализа часто используют именно потому, что соответствующие количественные методы более трудоемки и дороги, но не намного полезнее с практической точки зрения. Пример из всем знакомой области: в средней школе знания учащихся контролируются еженедельно, в высшей же - один или несколько раз в семестр. Однако разница с точки зрения эффективности управления процессом обучения невелика. Другой пример: как показано в статистике интервальных данных, из-за погрешностей измерений нецелесообразно увеличивать их число сверх некоторого «рационального объема выборки», а для увеличения точности оценивания характеристик вероятностных распределений необходимо использовать более точные средства измерения. С учетом сказанного описываемый здесь подход представляется не столь необычным.
	Оценка снизу необходимого объема выборки. В теории статистического приемочного контроля качества продукции разработано много подходов к выбору планов контроля:
	- на основе приемочного и браковочного уровней дефектности;
	- исходя из предела среднего выходного уровня дефектности (при контроле с разбраковкой);
	- с использованием экономических показателей, относящихся к предприятию (см., например, ГОСТ 24660-81);
	- с использованием экономических показателей, относящихся к  народному хозяйству в целом; и т.д.
	Имеется обширная литература, посвященная обоснованию и сравнению этих подходов, разработке соответствующей математической теории и программного обеспечения. Не углубляясь в эти проблемы, сосредоточим внимание на одном парадоксальном явлении: при повышении качества выпускаемой продукции теория рекомендует увеличивать объем контроля! 
	Действительно, при повышении качества выпускаемой продукции требования потребителя, очевидно, обеспечиваются все лучше. Следовательно, должен уменьшаться браковочный уровень дефектности, т.е. то значение входного уровня дефектности, при котором вероятность приемки партии равна риску потребителя. Из всех планов с общим объемом контроля n минимум вероятности приемки партии (т.е. оперативной характеристики) достигается на одноступенчатом плане (n, 0). Согласно этому плану партия принимается тогда и только тогда, когда из n проверенных единиц продукции все оказываются годными. Другими словами, оперативная характеристика для плана (n, 0) является огибающей (снизу) множества всех оперативных характеристик. Следовательно, из всех планов с общим объемом контроля n минимум браковочного уровня дефектности достигается также на плане (n, 0). 
	В дальнейшем будем исходить из биномиальной модели выборки, согласно которой число дефектных единиц продукции в выборке объема n имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где p - входной уровень дефектности. Как хорошо известно, эта модель является приближением для модели простой случайной выборки из партии, согласно которой указанное число имеет гипергеометрическое распределение. Напомним, что по чисто математическим причинам гипергеометрическая модель переходит в биномиальную, если объем партии безгранично возрастает, а доля дефектных единиц продукции в партии приближается к p. Если объем выборки составляет не более 10% объема партии, то с достаточной для практики точностью принимают, что соответствующее биномиальное распределение хорошо приближает гипергеометрическое.
	Примем обычное предположение: риск потребителя равен 0,10. Как известно, браковочный уровень дефектности pбр для плана (n,0) определяется из условия
(1 - pбр )n = 0,10.
Это соотношение дает возможность по заданному браковочному уровню дефектности pбр найти необходимый объем выборки:
n = ln 0,10 / ln (1 - pбр) = - 2,30/ln (1 - pбр).
Поскольку в силу сказанного ранее представляют интерес малые значения браковочного уровня дефектности, воспользуемся тем, что при малых x согласно правилам математического анализа 
ln (1 + x) = x + O (x2) .
Вторым слагаемым в правой части последней формулы, как обычно в асимптотических рассуждениях, можно пренебречь. Следовательно, необходимый объем выборки с достаточной точностью может быть найден по формуле
 n = 2,30/pбр  .	(10.15)
(При конкретных расчетах надо, очевидно, правую часть округлить до ближайшего целого числа.) Например, при довольно низком (с точки зрения мирового рынка) качестве выпускаемой продукции можно задать pбр = 0,01, т.е. потребовать, чтобы почти все (точнее, не менее 90%) партии, в которых дефектных единиц больше, чем 1 из 100, были забракованы и не достигли потребителя. Тогда объем контроля должен составлять не менее n = 230. 
	Основной парадокс теории статистического приемочного контроля. Как следует из сказанного выше, необходимый объем выборки, определяемый для какого-либо плана контроля по заданному браковочному уровню дефектности pбр, будет не меньше, чем для плана (n, 0), т.е. не меньше, чем 2,30/pбр.Таким образом, если достигнут достаточно высокий уровень качества, такой, что потребителю может попасть не более 1 дефектной единицы продукции из 10000, т.е. pбр = 0,0001, то объем контроля должен быть не меньше n = 23000. Если же качество повысится в 100 раз, т.е. потребителю сможет попасть не более 1 дефектной единицы продукции из 1000000, то объем контроля и затраты на него возрастут также в 100 раз, и минимально необходимый объем контроля составит 2,3 миллиона единиц продукции. Поскольку объем партий большинства (практически всех!) видов продукции существенно меньше этого числа, то проведенные выше расчеты говорят о необходимости перехода на сплошной контроль. 
	Итак, выводы парадоксальны: если качество выпускаемой продукции не очень хорошее, целесообразно проводить статистический (выборочный) контроль; если же качество возрастает, то объем контроля и затраты на него увеличиваются, вплоть до перехода на сплошной контроль. Если это возможно, т.е. контроль не является разрушающим. А если невозможно, то попадаем в тупиковую ситуацию - высокое качество не может быть подтверждено.
	В реальных ситуациях объемы контролируемых выборок - единицы или десятки, но обычно отнюдь не сотни и тысячи. Если контролируются 100 изделий, то согласно формуле (10.15) браковочный уровень дефектности равен 2,3%. И это - предел для реально используемых объемов контроля. Следовательно, статистический приемочный контроль (в том числе выходной или входной) может быть применен для контроля лишь такой продукции, в которой из 50 изделий хотя бы одно дефектно. То есть этот метод управления качеством предназначен лишь для продукции сравнительно низкого качества (входной уровень дефектности не менее 1-2%) или при обслуживании потребителя, согласного на довольно высокий браковочный уровень дефектности (не менее 2,3%). 
	Следовательно, для повышения качества необходимо использовать контрольные карты и другие методы статистического регулирования технологических процессов на предприятии. О них подробно рассказано в следующем разделе, а также, например, в монографиях [1, 5]. В частности, упомянем методы «всеобщего» (в другом переводе - тотального) контроля качества и др. Недаром этим методам уделяется больше внимания в зарубежных методических изданиях, чем собственно статистическому приемочному контролю.
	От контроля к пополнению партии. Рассмотрим простую идею: отказываемся от контроля качества вообще, но зато по первому требованию потребителя заменяем дефектную единицу продукции на новую. При этом экономим на контроле, но вместо этого тратим средства на замену продукции. Выгодно это или не выгодно?
	Замена продукции может проводиться различными способами. Для многих видов товаров народного потребления это делается с помощью системы гарантийного обслуживания, гарантийных сроков и мастерских, через сеть розничной торговли и т.д. 
	Другой вариант - к партии поставляемой продукции добавляется некоторое количество единиц продукции для замены имеющихся, возможно, в ней дефектных единиц. Сначала обсудим подробнее именно этот вариант идеи замены продукции. 
	Пусть поставщик выпускает продукцию с известным ему уровнем дефектности p. Тогда число Х дефектных единиц в партии объема N имеет биномиальное распределение с параметрами N и p. По теореме Муавра-Лапласа Х не превосходит (при достаточно большом N) величины
D0(t) = Np + t(Np(1-p))1/2 
с вероятностью Ф(t), где Ф(t) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Поскольку Ф(4) = 0,999968329, то для практических целей достаточно положить t = 4, при этом более чем D0(4) дефектных единиц продукции попадет в партию лишь в 3 случаях из 100000.
	Пусть С0 - цена одной единицы продукции, С1 - стоимость неразрушающего контроля одной единицы продукции (с исправлением дефектов при их обнаружении). Сравним сначала две стратегии технико-экономических отношений поставщика с потребителями: 
	сплошной контроль (затраты С1N) 
	и пополнение партии дополнительными изделиями в числе D0(4) (затраты С0D0(4)). Вторая стратегия лучше (экономически выгоднее), если 
		(10.16)
Поделим на  получим равносильное неравенство 
.
Поскольку p(1 - p) не превосходит 1/4 при всех p, то из неравенства 
С1/С0 > p + 2 / N1/2 	(10.17)
вытекает неравенство (10.16). Ясно, что в случае, если
С1/С0 > p,
неравенство (10.17) (а потому и неравенство (10.16)) выполняется при достаточно больших объемах партии, а именно, при
 N > {2 С0 / (С1 - С0  p)}2 .
Например, если стоимость контроля составляет 10% от стоимости продукции (типовая ситуация в машиностроении), т.е. С1/С0 = 0,1, а уровень дефектности p = 0,01, то последнее неравенство дает N > 493. В то же время нетрудно проверить, что неравенство (10.16) выполняется при
0,1 > 0,01 + 4 (0,01×0,99)1/2 / N1/2,   
т.е. при N > 19. Расхождение более чем на порядок (в 26 раз) объясняется заменой при переходе от формулы (10.16) к формуле (10.17) величины p(1 - p) на 1/4, т.е. на гораздо большую величину  - при  малом входном уровне дефектности p.
	Выгодно ли введение статистического контроля? Пусть рассматривается описанная выше стратегия пополнения партий. Мы сравнивали ее со стратегией сплошного контроля, которая во многих случаях оказалась хуже. Может быть, поставщику имеет смысл использовать статистический контроль? Понятно, что речь может идти лишь о (неразрушающем) контроле с разбраковкой, поскольку только в этом случае меняется доля дефектности в потоке партий, направляемых потребителям. 
	Пусть используется план (n, 0) с приемочным уровнем дефектности, равным реально достигнутому предприятием уровню дефектности p. Как известно, тогда объем выборки определяется из условия
(1 - p)n = 0,95,
т.е.
n = ln 0,95 / ln (1 - p ) = - 0,0513  / ln (1 - p ) .
При малом p уже не раз применявшееся соотношение из математического анализа дает с достаточной для практики точностью
 n = 0,05 / p .
	С вероятностью (1 - p)n = 0,95 партия принимается, с вероятностью 0,05 подвергается разбраковке. В первом случае партия поступает к потребителю с тем же уровнем дефектности, что и до контроля, но при этом добавляются затраты на контроль, равные С1n. Партию необходимо пополнить D0(4) изделиями (затраты С0D0(4)), общие затраты (в среднем на одну выпущенную партию) равны 
0,95 (С1n + С0 D0 (4)) . 
Во втором случае фактически проводится сплошной контроль с исправлением дефектов и затратами С1N. Суммарные затраты при использовании выборочного контроля равны
0,95 (С1n + С0 D0 (4)) + 0,05 С1N .
Он более выгоден, чем отсутствие контроля (с добавлением «запасных» изделий), в случае справедливости неравенства 
0,95 (С1n + С0 D0 (4)) + 0,05 С1N  < С0 D0(4),
что эквивалентно неравенству 
19 С1n  + С1N < С0 D0(4).
Сравнение с формулой (10.16) показывает, что если контроль не является разрушающим, то выборочный контроль менее выгоден, чем сплошной. По сравнению с формулой (10.16) добавляется первое слагаемое в левой части последней формулы. И тем более выборочный контроль в экономической эффективности весьма проигрывает по сравнению с отсутствием контроля в сочетании с пополнением партии.
	Итак, введение статистического контроля в схеме пополнения партии не выгодно.  
	От системы контроля к системе технического обслуживания. Вернемся к первому из указанных ранее вариантов замены продукции. Что выгоднее - сплошной контроль на предприятии или замена дефектных изделий, обнаруженных потребителями? Реальное перекладывание контроля на потребителей влечет потери, связанные с удовлетворением их претензий, но при малой доле дефектных изделий эти потери малы по сравнению с затратами на контроль. 
	Действительно, пусть W - средние потери поставщика, связанные с пропуском потребителю дефектной единицы продукции. Сюда входят следующие виды потерь:
	- стоимость новой единицы продукции (при замене изделия или возврате его стоимости);
	- расходы системы распределения продукции и гарантийного ремонта, включая издержки на устранение дефектов;
	- потери из-за нежелательного изменения предпочтений потребителя, из-за снижения имиджа фирмы;
	- затраты на возмещение ущерба, понесенного потребителем, страховые сборы, судебные издержки, и т.д.  
	Потери W в несколько раз (по экспертной оценке - обычно в 5 - 10 раз) превышают расходы С0 на изготовление единицы продукции. Кроме того, для быстрого решения проблем потребителей, связанных с обнаружением дефектов, необходима развитая система технического обслуживания.
	Пусть изготовлена партия продукции объема N. Тогда расходы на сплошной (неразрушающий) контроль составляют С1N (при этом дефектные единицы продукции извлекаются и утилизируются, расходами на утилизацию или доходами от нее в настоящем изложении пренебрегаем). Пусть p - доля дефектных единиц продукции в партии. Тогда Np - математическое ожидание числа дефектных единиц продукции в партии, а WNp - математическое ожидание потерь. Если  
WNp < С1 N,   p < С1 / W,  	 (10.18)
то выгоднее отказаться от сплошного контроля. При повышении качества, т.е. снижении доли дефектности, целесообразно переходить к поиску и устранению дефектов не непосредственно на предприятии, а в пунктах системы технического обслуживания.
	В формуле (10.18) участвует математическое ожидание WNp. Реальные потери могут быть больше, но не намного. Как и выше, с помощью теоремы Муавра-Лапласа можно утверждать, что практически наверняка они не превышают WD0(4), а потому преимущество решения об отказе от контроля неоспоримо при 
WD0(4) <C1N,     p + 4(p(1-p))1/2/N1/2 < C1/W. 	(10.19)
Аналогично выводу неравенства (10.17) заключаем, что неравенство (10.19) наверняка будет выполнено, если 
p  +  2/N1/2 < С1/W.	(10.20)
	Пусть С1/W = 0,1, выпускается партия объема N = 1600. Тогда согласно неравенству (10.20) отказ от контроля выгоден уже при p < 0,05, т.е. граничное значение соответствует довольно низкому уровню качества - 1 единица продукции из 20.
	Выгодно ли в рассматриваемой ситуации вводить выборочный контроль? Пусть объем контроля равен n, приемочное число с = 0, с вероятностью y партия принимается, а с вероятностью 1 - y бракуется (и затем подвергается разбраковке). В первом случае расходы на контроль равны С1n, а остальная часть партии содержит в среднем (N-n)p дефектных единиц продукции, и средние издержки равны y{С1n + W(N - n)p}. Во втором случае суммарные затраты равны (1 - y)С1N . Следовательно, введение контроля выгодно, если
y{С1n + W(N - n)p} + (1 - y)С1 N < WNp .
Преобразуем это неравенство к виду
yn{С1 - Wp}(1 - y)-1 + С1N < WNp.   (10.21)
Если выполнено неравенство p < С1/W, то второе слагаемое в левой части неравенства (10.21) больше правой части этого неравенства, в то время как первое слагаемое в левой части (10.21) положительно. Следовательно, неравенство (10.21) неверно, и введение выборочного контроля нецелесообразно - как и в разобранном ранее случае метода пополнения партий.
	Выше приведен базовый (простейший, исходный) метод сравнения различных систем взаимоотношений поставщиков и потребителей. При разработке практически пригодных систем принятия решений целесообразно дальнейшее его развитие.
	Реально статистический контроль качества продукции, осуществляемый поставщиком (выходной контроль), решает две основные задачи: обеспечение интересов потребителя и обнаружение разладок собственных технологических процессов (по результатам контроля последовательности партий). Как показано выше, для решения первой из этих задач он не всегда оптимален. Вторую из названных задач также часто эффективнее решать с помощью иных методов, например, обнаруживать разладку технологических процессов с помощью тех или иных контрольных карт. Таким образом, область применения методов статистического приемочного контроля является довольно ограниченной. Очевидно, однако, что нельзя исключать эти методы из арсенала менеджеров по качеству, в частности, при использовании концепции «всеобщего управления качеством (TQM - Total Quality Management)». Хотя бы потому, что они незаменимы при использовании разрушающих методов контроля.
	Наиболее перспективным представляется использование полученных результатов в рамках концепции контроллинга.
	Итак, выше сформулирован основной парадокс теории статистического приемочного контроля - повышение качества выпускаемой продукции приводит к увеличению объема контроля. Описан способ разрешения этого парадокса - на основе перехода от чисто технической политики выбора плана контроля к технико-экономической. Она (технико-экономическая политика) исходит из сравнения по экономическим показателям схем контроля и схем технического обслуживания и пополнения партий. Разобран базовый метод такого сравнения, позволяющий выделить область экономического преимущества схемы пополнения партий и схемы технического обслуживания по сравнению со схемой контроля.

10.4. Статистические методы управления качеством

	Как уже отмечалось, в России намечается всё расширяющаяся тенденция к сертификации продукции, т.е. к официальной гарантии поставки производителем продукции, удовлетворяющей установленным требованиям. Поставщики и продавцы должны иметь сертификаты качества на предлагаемые ими товары и услуги. Маркетинг, т.е. производственная и коммерческая  политика, нацеленная на получение максимальной прибыли на основе изучения рынка, создания конкурентоспособной продукции и ее полной реализации, включает в себя работы по сертификации. 
	Не будем останавливаться на быстро меняющейся организационной стороне процесса сертификации и соответствующих отечественных и зарубежных нормативных документах, а также на различных системах сертификации. Как общие проблемы сертификации, так и выбор схемы сертификации для конкретной продукции активно обсуждаются специалистами. Приведем лишь несколько замечаний, необходимых для дальнейшего изложения.
	Напомним, что, говоря о сертификации продукции, могут иметь в виду качество конкретной ее партии. В ряде случаев это оправдано - рядового потребителя интересует качество лишь той единицы продукции, которую он приобрел. Однако установление долговременных хозяйственных связей целесообразно, когда поставщик гарантирует высокое качество не одной, а всех партий своей продукции. Другими словами, должны быть проведены оценка и сертификация технологических процессов и производств.
	Еще больше повышается доверие к поставщику, если не только отдельные технологические процессы, но и всё предприятие в целом гарантированно выпускает продукцию высокого качества. В современных условиях это обеспечивается действующей на предприятии системой качества, удовлетворяющей требованиям Международной организации по стандартизации ИСО.
	Одна из основных характеристик товара - его конкурентоспособность. Очевидно, производителю необходимо уметь оценивать конкурентоспособность перед запуском продукции в производство или началом работы по продвижению на зарубежный рынок. В литературе имеются различные мнения по поводу понятия «конкурентоспособность». В частности, нельзя согласиться  с крайне упрощенным подходом, согласно которому конкурентоспособность сводится к соотношению цен на внутреннем и внешнем рынках. Достаточно напомнить о таких приемах конкурентной борьбы, как демпинг и (добросовестная или недобросовестная) реклама, таможенные пошлины и квоты.
	Один из основных компонентов конкурентоспособности продукции – её технический уровень. В западных публикациях справедливо отмечается, что фирма, обладающая патентом или новой научно-технической разработкой, имеет более высокий «излишек производителя» по сравнению с другими фирмами. Согласно популярному западному учебнику, технический уровень продукции - одна из основных учитываемых характеристик при выборе направления инвестиционных вложений.
	Сертификация - это современная форма управления качеством. Среди зарубежных специалистов общепринято, что основная составляющая в управлении качеством продукции - это статистические методы. В нашей стране внедрение комплексных систем управления качеством продукции (КС УКП), к сожалению, сводилось во многом всего лишь к подготовке документации организационного характера. Статистические методы использовались в промышленности недостаточно, прежде всего из-за недостаточной подготовки кадров, а государственные стандарты по этой тематике зачастую содержали грубейшие ошибки (см. ниже). Ситуация в области применения статистических методов и причины нашего отставания достаточно подробно разобраны в публикациях [2, 6]. 
	В России более 150 лет статистические методы применяются для проверки соответствия продукции установленным требованиям, т.е. для сертификации. С начала 1970-х гг. стали разрабатываться государственные стандарты по статистическим методам. В связи с обнаружением в них грубых ошибок в 1985 г. организована «Рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам». В ее работе приняли участие 66 специалистов, в том числе 15 докторов и 36 кандидатов наук. Выводы Рабочей группы кратко отражены в статьях [2, 6]. В соответствии с рекомендациями Рабочей группы 24 из 31 государственного стандарта по статистическим методам отменены в 1986-87 гг. 
	К сожалению, потеряв правовую силу как нормативные документы, ошибочные стандарты до настоящего времени продолжают использоваться отдельными «специалистами» как научно-технические издания. Полученные Рабочей группой результаты и выводы не были широко и подробно опубликованы, ошибки в государственных стандартах не были публично вскрыты, и авторы дальнейших публикаций продолжают ссылаться на эти издания с грубейшими ошибками. Так, в ряде работ пропагандируются ошибочные стандарты, посвященные применению контрольных карт при статистическом регулировании технологических процессов. Продолжает широко использоваться  грубо ошибочный ГОСТ 11.006-74 (СТ СЭВ 1190-78) «Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим», хотя разбор ошибок делался не раз. Одна из ошибок – при применении статистики типа Колмогорова, в которой вместо истинного значения параметра подставлена его оценка, застандартизовано применение критических значений классической статистики Колмогорова, которые примерно в 1,5 раза превышают те значение, которые должны быть (см. конец раздела 2.4 выше). в этом стандарте посвящена статья [20] двадцатилетней давности Перечисленные выше факты делают целесообразным популяризацию результатов и выводов Рабочей группы и в настоящее время. 
	С точки зрения теории и практики принятия решений рассматриваемая ситуация весьма поучительна. Она показывает, что недостаточно продуманная система разработки управленческих документов (в рассматриваемом случае – стандартов по статистическим методам управления качеством продукции) позволяет отдельным лицам бесконтрольно определять содержание нормативно-технических документов, в том числе на десятилетия закреплять в них ошибочные положения. Не так уж важны мотивы поведения подобных лиц – невежество в сочетании с самонадеянностью, корысть или стремление нанести вред действующей научно-технической системе – важен результат. 
	В 1988-89 гг. наиболее активная часть Рабочей группы (10 докторов и 15 кандидатов наук) составили «Аванпроект комплекса методических документов и пакетов программ по статистическим методам стандартизации и управления качеством». Это обширное сочинение (около 1600 стр.) и на настоящий момент остается наиболее полным руководством по рассматриваемой тематике. Информация о нем приложена к переводу книги японских авторов по аналогичной тематике [1].
	К сожалению, под влиянием авторов ошибок в стандартах Госстандарт принял решение не финансировать реализацию заказанного им «Аванпроекта». Тогда сообщество специалистов решило действовать самостоятельно. В 1989 г. организован Центр статистических методов и информатики (ЦСМИ; в настоящее время - Институт высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана). К середине 1990 г. в ЦСМИ разработаны 7 диалоговых систем по современным статистическим методам управления качеством, а именно, СПК, АТСТАТ-ПРП, СТАТКОН, АВРОРА-РС, ЭКСПЛАН, ПАСЭК, НАДИС (краткие описания этих систем даны ниже). В работе участвовали 128 специалистов. В  дальнейшем к ЦСМИ присоединялись новые группы научно-технических работников. К концу 1991 г. число сотрудников ЦСМИ превысило 300. Информация о программных продуктах и другой деятельности ЦСМИ постоянно помещалась в журналах «Заводская лаборатория» и «Надежность и контроль качества». Программные  продукты, разработанные Центром статистических методов и информатики, были поставлены и использовались более чем в 100 организациях и предприятиях. Среди них - производственные объединения «Уралмаш», «АвтоВАЗ», «Пластик», ЦНИИ черной металлургии им. Бардина, НИИ стали, ВНИИ эластомерных материалов и изделий, НИИ прикладной химии, ЦНИИ химии и механики, НПО «Орион», НИЦентр по безопасности атомной энергетики, ВНИИ экономических проблем развития науки и техники, ВНИИ нефтепереработки, МИИТ, Казахский политехнический институт, Ульяновский политехнический институт, Донецкий государственный университет и др.
	Параллельно ЦСМИ вел работу по объединению статистиков. В апреле 1990 г. в Большом Актовом Зале Московского Энергетического института прошла Учредительная конференция Всесоюзной организации по статистическим методам  и их применениям. На Учредительном съезде Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА) в октябре 1990 г. в Московском экономико-статистическом институте эта организация вошла в состав ВСА в качестве секции статистических методов. В 1992 г. после развала СССР и фактического прекращения работы ВСА на основе секции статистических методов ВСА организована Российская ассоциация по статистическим методам (РАСМ), а затем и Российская академия статистических методов. В мероприятиях секции статистических методов ВСА и РАСМ активно участвовали несколько сот специалистов по статистическим методам. В ЦСМИ и РАСМ, объединивших большинство ведущих российских специалистов, коллективными усилиями разработан единый подход к проблемам применения статистических методов в сертификации и управлении качеством.
	Классификация статистических методов сертификации. Рассмотрим два основания для классификации. Первый - по виду статистических методов. Второй - по этапам жизненного цикла продукции, на которых соответствующий метод применяется. Первое основание привычно для специалистов по разработке статистических методов и соответствующего программного обеспечения, второе - для тех, кто эти методы применяет на конкретных предприятиях.
	В ЦСМИ сложилось пятичленное деление по первому основанию (в скобках указаны наименования диалоговых систем ЦСМИ, рассмотренных, в частности, в работе [2]):
	а) прикладная  статистика - иногда с дальнейшим выделением статистики случайных величин, многомерного статистического анализа, статистики случайных процессов и временных рядов, статистики объектов нечисловой природы (Система Регрессионного Статистического Моделирования СРСМ, или СТАТМАСТЕР; АДДА, ГРАНТ, КЛАМС, ЭКОНОМЕТРИК, РЕГРЕССИЯ, ЛИСАТИС, ЭКОСТАТ, РЕСТ);
	б) статистический приемочный контроль (СПК, АТСТАТ-ПРП, КОМПЛАН); 
	в) статистическое регулирование технологических процессов, в частности, методом контрольных карт (СТАТКОН, АВРОРА-РС);
	г) планирование  эксперимента  (ПЛАН, ЭКСПЛАН, ПАСЭК, ПЛАНЭКС);
	д) надежность и испытания (НАДИС, ОРИОН, СЕНС).
	Быстрое развитие компьютерной техники имеет свою оборотную сторону. Вполне добротные программные продукты устаревают и выходят из обращения просто потому, что они сделаны на отработавшем свой срок операционном (системном) программном обеспечении. «Выжить» может только то программное обеспечение, которое поддерживается соответствующей фирмой и постоянно совершенствуется с чисто программистской точки зрения. Важна система технической поддержки, обучение и, конечно, реклама. При этом чисто научная сторона дела отходит на задний план. Эти простые соображения объясняют, почему за 19 лет (с 1991 по 2010 гг.) отечественный рынок программных продуктов по эконометрике и статистическим методам стал гораздо более бедным по числу продуктов, научный уровень явно понизился, зато дизайн явно стал привлекательнее. 
	Перейдем ко второму основанию классификации методов сертификации. Согласно п.5.1 «Петля качества» стандарта ИСО 9004-87 «Общее руководство качеством и элементы системы качества. Руководящие указания» система качества функционирует «... одновременно со всеми остальными видами деятельности, влияющими на качество продукции или услуг, и взаимодействует с ними. Ее воздействие распространяется на все этапы от первоначального определения и до конечного удовлетворения требований и потребностей потребителя. Эти этапы и виды деятельности включают:
	1) маркетинг, поиски и изучение рынка;
	2) проектирование и/или разработку технических требований, разработку продукции (опытного образца);
	3) поиски поставщиков и оптовых покупателей, организацию материально-технического снабжения (решение задач логистики);
	4) подготовку и разработку производственных (технологических) процессов;
	5) непосредственно производство продукции;
	6) контроль качества продукции, проведение испытаний и обследований;
	7) упаковку и хранение продукции;
	8) реализацию (сбыт) и распределение (доставку) продукции;
	9) монтаж и эксплуатацию продукции у потребителей;
	10) технические помощь и обслуживание;
	11) утилизацию после использования.
Подробное рассмотрение применения основных типов статистических методов на перечисленных этапах жизненного пути продукции не входит в задачу настоящей книги. Сводка, приведенная в табл. 10.1, показывает, что статистические методы широко применяются на всех этапах жизненного пути  продукции.

 Таблица 10.1 
Применение статистических методов на различных этапах
жизненного цикла продукции по ИСО 9004-87
Номер этапа	а	б	в	г	д	Специальные модели	
1	+	-	-	+	-	+	
2	+	-	-	+	+	+	
3	+	-	-	-	-	+	
4	+	+	+	+	+	+	
5	+	+	+	+	-	+	
6	+	+	+	+	+	+	
7	+	+	+	+	+	+	
8	+	+	-	-	-	+	
9	+	+	+	+	+	+	
10	+	-	-	-	-	+	
11	+	+	+	+	-	+	

	Помимо компьютерных диалоговых систем широкого назначения, на каждом конкретном предприятии и на любом конкретном этапе жизненного пути продукции могут быть использованы специальные модели, например, на этапе 3 «материально-техническое снабжение» - модели управления запасами (см. о них, например, раздел 8.3 выше).
	Среди диалоговых систем по статистическому анализу выделим пакеты, ориентированные: 
	на восстановление зависимостей (СТАТМАСТЕР, он же СРСМ - Система Регрессионного Статистического Моделирования, и его развитие ЭКОНОМЕТРИК, а также РЕГРЕССИЯ),
	анализ нечисловых данных на основе методов статистики объектов нечисловой природы (АДДА, КЛАМС, а также ориентированный на экспертное оценивание ГРАНТ, на анализ интервальных данных РЕСТ), 
	прогнозирование (ЛИСАТИС и его развитие ЭКОСТАТ, а также относящиеся к временным рядам разделы пакета АВРОРА-РС - Анализ Временных Рядов и Обнаружение РАзладки).
	Для регулярного и обоснованного принятия решений на основе решения обширных комплексов задач сертификации и управления качеством на конкретном предприятии в ряде случаев целесообразно создать диалоговую систему, предназначенную для использования именно на этом предприятии. В частности, для решения задач этапа 4 используют созданные для конкретного предприятия программные системы, соединяющие в себе банки данных и пакеты статистических методов анализа этих данных. Примерами являются «Автоматизированное рабочее место материаловеда (АРМ материаловеда)» и «Автоматизированное рабочее место математика (АРМ математика)», разработанные Центром статистических методов и информатики для ВНИИ эластомерных материалов и изделий. 
	Для объединения  типовых пакетов в индивидуальную систему полезно программное средство ИНТЕГРАТОР - универсальный инструмент, предназначенный для создания интегрированных программных систем и обеспечивающий возможность совместного использования различных пакетов прикладных программ на персональных компьютерах IBM PC. Так, с помощью ИНТЕГРАТОРА был разработан АРМ математика на основе пакетов СРСМ, ПЛАН, АТСТАТ-ПРП, соответствующей базы данных и ряда программ,  ориентированных на специфику ВНИИ эластомерных материалов и изделий.
	На всех этапах жизненного цикла продукции, особенно на этапах 3, 8, 10, часто используют специализированные вероятностно-статистические модели, в том числе модели управления запасами, массового обслуживания и др. Такие модели и их программное обеспечение, как правило, разрабатываются для конкретного предприятия, и потому они хорошо приспособлены к особенностям этого предприятия. 
	Как избежать ошибок в нормативно-технической документации и инструктивно-методической документации? Многие ошибочные государственные стандарты по статистическим методам управления качеством были отменены (хотя результаты анализа, проведенного Рабочей группой, так и не были вовремя и полностью опубликованы). Однако эти стандарты продолжают и до сих пор использоваться как авторитетные научно-технические публикации. Почему так происходит? Как вообще могли появиться ошибки в нормативно-технических документах и почему в течение ряда лет эти документы использовались, несмотря на очевидные для специалистов ошибки?
	Дело в том, что инженеру, экономисту, менеджеру, работнику прикладной науки (короче - инженеру) несвойственно менять свою специальность, становиться математиком и самостоятельно повторять выкладки и рассуждения, положенные в основу ГОСТа. Поэтому инженер обычно не может самостоятельно обнаружить математические ошибки в ГОСТе, даже грубейшие. Главное - он не хочет этим заниматься. С другой стороны, математику  несвойственно анализировать нормативно-техническую документацию. Он также обычно не хочет этим заниматься. «Рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам» была уникальным примером совместной работы математиков и инженеров, именно поэтому ей удалось сопоставить тексты стандартов с результатами современной науки.
	Вполне естественно, что виновные в ошибках сделали всё возможное в рамках действовавшей системы принятия решений, чтобы помешать признанию и исправлению допущенных ими ошибок в государственных стандартах. До сих пор продолжаются попытки навязать промышленности (в качестве нормативных документов!) тексты, грубая ошибочность которых давно установлена. Кроме того, государственные стандарты, отмененные как нормативно-технические документы, продолжают физически существовать как издания (брошюры) и использоваться при проведении инженерных расчетов, проектировании систем контроля и т.д. Все это делает необходимым пропаганду выводов Рабочей группы относительно ГОСТов по статистическим методам. Они приведены в работе [2]. 
	«Шесть сигм» - система внедрения контроллинга и его статистических инструментов. Как улучшить организацию производства? Как повысить эффективность управления? Волна за волной накатывают на руководителей и специалистов все новые сочетания слов и стоящие за ними концепции. И в каждой волне есть что-то новое и что-то давно известное. Основное - новый угол взгляда на старые проблемы и методы.
	И вот появилось новое модное поветрие - «Шесть сигм». Что стоит за этими словами, наводящими на мысли о статистических методах (греческой буквой «сигма» традиционно обозначают показатель разброса статистических данных)? Как сказано в [7], «Шесть сигм» - это более разумный способ управлять всей компанией или отдельным подразделением. Фактически речь идет о развитии системы контроллинга на предприятии, в организации, фирме, компании. Концепция «Шесть сигм» ставит на первое место потребителя и помогает находить самые лучшие решения, опираясь на факты и данные. Она нацелена на три основные задачи:
	- повысить удовлетворенность клиентов;
	- сократить время цикла (производственного, операционного);
	- уменьшить число дефектов.
	Внедрение «Шести сигм» дает значительный экономический эффект. Исполнительный директор General Electric Джек Уэлч писал в ежегодном докладе, что всего за три года «Шесть сигм» сэкономили компании более 2 млрд. долл.
	Совершенно справедливо «Шесть сигм» рассматривают как «революционный метод управления качеством». Согласно «Шести сигмам» следует стремиться к достижению самого малого разброса контролируемого параметра по сравнению с полем допуска. Желательно добиться, чтобы ширина поля допуска была в 6 раз больше типового разброса, традиционно описываемого как «плюс-минус сигма». Отсюда и название концепции - «Шесть сигм». Соотношение поля допуска с полем разброса (в «сигмах») связывают с числом дефектов (на миллион возможностей) и с выходом годной продукции (в %). Так, 6 «сигма» соответствуют 3,4 дефектов на 1000000 возможностей, или выходу годной продукции 99,99966%. А пока такой высокий уровень не достигнут, можно оценивать ситуацию в «сигма». И промежуточная задача может формулироваться так: с уровня 2,5 «сигма» подняться до уровня 4 «сигма».
	С помощью каких инструментов достигается успех в системе «Шести сигм»? Это инструменты генерации идей и структурирования информации - экспертные оценки (голосования, мозговой штурм), диаграммы (сродства, древовидные, «рыбий скелет» - схема Исикава), блок-схемы. Это инструменты сбора данных - выборочный метод, методики измерений, методы определения «голоса потребителя», контрольные листки и электронные таблицы. Третья группа - инструменты анализа процесса и данных - анализ течения процесса, добавленной ценности, различные графики и диаграммы. В том числе диаграмма Парето, график временного ряда (тренда), диаграмма разброса (поле корреляции). Затем - инструменты статистического анализа (проверка статистических гипотез, методы корреляции и регрессии, планирования экспериментов и др.). Наконец, четвертая группа инструменты реализации решений и управления процессом. Среди них - методы управления проектами (планирование, бюджетирование, составление графиков, коммуникации, управление коллективом, диаграммы Ганта и др.), анализ потенциальных проблем и анализ видов и последствий отказов, анализ заинтересованных сторон, диаграмма поля сил, документирование процесса, сбалансированная система показателей и «приборная» панель процесса. 
	Инструментарий системы «Шести сигм» весьма широк. Эти инструменты помогают принимать правильные решения, решать проблемы и управлять переменами. Среди них основное место занимают различные статистические инструменты. Однако нельзя считать, что система «Шести сигм» и инструменты «Шести сигм» - это одно и  то же.
	Как справедливо подчеркнуто в цитированной книге о системе «Шести сигм», возможно, вы говорите себе: «Мы уже делаем кое-что из этого». И уж, безусловно, читали почти обо всем из названных выше инструментов, в том числе на страницах настоящего учебника. Совершенно бесспорно, что многое в концепции «Шести сигм» не ново. Что действительно ново - так это соединение всех этих элементов системы и ее инструментов в согласованный процесс управления. 
	Действительно, различные виды инструментов повышения эффективности управления известны давно. Чтобы их успешно использовать, НУЖНА СИСТЕМА ВНЕДРЕНИЯ. Нужна тщательно разработанная методика создания и функционирования творческих коллективов, занимающихся анализом ситуации, подбором и внедрением современных инструментов управления. Все это создано в системе «Шести сигм». В этом и состоит суть нового шага в науке и практике управления предприятием.
	Выделяют шесть элементов, составляющих квинтэссенцию системы «Шесть сигм». Это
	- ориентация на потребителя;
	- управление на основе данных и фактов;
	- процессный подход (где действия, там и процессы);
	- проактивный менеджмент (т.е. основанный на прогнозировании); 
	- безграничное сотрудничество;
	- стремиться к совершенству, но не бояться поражений.
Конечно, каждый из этих элементов сам по себе хорошо известен. Дело в системе «Шести сигм», в которую они объединены. В этой системе подробно расписаны роли различных участников команды - «черные пояса», «зеленые пояса», «мастера черных поясов», «чемпионы». Подчеркивается основополагающая роль членов руководства компании («спонсоров»), лично занимающихся развитием системы «Шесть сигм».
	Анализ системы «Шесть сигм» показывает, что, несмотря не некоторое различие терминов, связанное с корнями этой системы (лежащими в проблемах управления качеством), фактически «Шесть сигм» - это глубоко проработанная система внедрения современных технологий управления. Отметим большое место, которое занимают статистические методы среди ее инструментов. Система «Шесть сигм» трудоемка, на внедрение нужны годы. Но и эффект велик [8]. Можно взглянуть на систему «Шесть сигм» и как на инструмент инновационного менеджмента. Тогда естественно рассматривать «Шесть сигм» как новую систему внедрения математических методов исследования и управления на промышленном предприятии.

10.5. Обнаружение разладки с помощью контрольных карт

	Контрольные карты Шухарта и кумулятивных сумм первоначально использовались для статистического контроля технологических процессов. В последние годы область их применения значительно расширилась, охватив временные ряды различной природы, от экологического мониторинга до анализа динамики экономических показателей. В этом разделе, составленном на основе статьи [9], даются общие сведения о методе контрольных карт и подробно разбирается пример, относящийся к деятельности предприятия ОАО «Северсталь-авто».
	Области применения контрольных карт. Контрольные карты предназначены для организации и проведения статистического контроля стохастических процессов, представленных в форме временных рядов, на предмет наискорейшего обнаружения момента спонтанного изменения (разладки) вероятностных характеристик контролируемых процессов. Во многих практических задачах только на основании анализа временных рядов возможно выявить скрытые изменения, происходящие в наблюдаемом объекте или явлении. 
	Методы обнаружения разладки имеют многообразные области применения: контроль качества технологических процессов, обнаружение аварийных ситуаций, обработка информации в автоматизированных системах научных исследований (АСНИ), в автоматизированных системах управления технологическими процессами (АСУ ТП), в автоматизированных испытательных стендах. Текущий контроль систем подвижных объектов, обнаружение сейсмических сигналов на фоне шума, оперативное выявление отказов агрегатов без остановки технологического процесса, статистическое регулирование технологических процессов с помощью контрольных карт, мониторинг экологической обстановки, интенсивное наблюдение за тяжелобольными в клиниках - вот лишь краткий перечень задач, которые решают с помощью контрольных карт [1, 2, 5, 9].
	Основные идеи метода контрольных карт. Задача статистического регулирования технологического процесса состоит в том, чтобы на основании результатов периодического контроля выборок малого объема принимать решение «процесс налажен» или «процесс разлажен». Соответствующая вероятностно-статистическая модель в простейшем варианте следующая. Выдвигаются две гипотезы: 
	нулевая гипотеза Н0 — технологический процесс налажен, если параметр (характеристика) θ распределения контролируемого показателя качества Х равен θ0;
	альтернативная гипотеза H1 — технологический процесс разлажен, если параметр θ равен θ1. 
	На основании результатов контроля X1, Х2,...,Хn включенных в выборку единиц продукции необходимо с помощью определенных статистических критериев принять одну из этих двух гипотез.
	Обычно выборку значений контролируемого показателя качества моделируют совокупностью независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием μ и дисперсией σ2. При статистическом регулировании технологических процессов проверяют гипотезы:
	Н0 : μ = μ0 (технологический процесс налажен),
	H1 : μ  = μ1 (технологический процесс разлажен),
если разладка связана с изменением математического ожидания μ. Если же разладка связана с увеличением дисперсии σ2, то в этом случае проверяют гипотезы:
	Н0 : σ = σ0 (технологический процесс налажен),
	H1 : σ = σ1 (технологический процесс разлажен).
	На стадии предварительного анализа состояния технологического процесса необходимо оценить параметры μ0 и σ0. Для этого следует отобрать на контроль определенное количество единиц продукции при нормальном ходе производства, т.е. при надлежащем качестве сырья и при отлаженном оборудовании. При этих условиях мы по правилам прикладной статистики (раздел 2.3) получим оценки параметров μ и σ при налаженном состоянии технологического процесса, т. е. μ0 и σ0. 
	Значения параметров, соответствующие разлаженному процессу, либо задают с помощью экспертов, либо определяют при анализе забракованной продукции.
	На контрольной карте отмечают границы регулирования, ограничивающие область допустимых значений статистики (при справедливости нулевой гипотезы). Контрольная карта - наглядное графическое средство, отражающее состояние технологического процесса. Выход точки за границу регулирования служит сигналом о разладке технологического процесса. 
	Впервые контрольные карты разработаны в 1924 г. американцем У.А. Шухартом, работавшим в Bell Telephone Laboratories [1]. Методология построения контрольных карт Шухарта имеет ту особенность, что проводимый контроль не учитывает предыдущего поведения контролируемого параметра. В середине XX века разработана методика, учитывающая информацию о прошлых данных для анализа текущего состояния. В основе этой методики лежит исследование не индивидуальных значений признака, а учет их кумулятивных сумм. Такой подход получил название метода кумсумм (или кумсумм-метода).
	Кумсумма образуется следующим образом:
,		(10.22)
где k – константа, представляющая собой некоторое эталонное значение, xi – значение используемой статистики в i-й момент времени. Нанесенные на график в порядке появления кумулятивные суммы (Sr) образуют кумсумм - карту.
	В модели, когда разладка связана с изменением математического ожидания, величину k обычно приравнивают математическому ожиданию в налаженном состоянии. Если среднее значение параметра процесса возрастет, то будет иметь место и общий рост уровня кумсуммы, поскольку все большее число значений (xi – k) станут положительными. Аналогичным образом, если среднее значение будет падать, то и график будет стремиться вниз. Изменение среднего значения исходных данных приводит к изменению угла наклона графика кумсумм.
	Пример практического применения. На примере контроля премиального фонда (ПФ) аппарата управления производственного объединения покажем, какой контроль можно осуществлять, применив карты Шухарта и карты кумулятивных сумм. 
	Исходные данные – ПФ за 45 месяцев (табл. 10.2). Причем ПФ за первые 3 года считается стабильным. Проверим, не разлажен ли процесс выплаты ПФ в 2005 году, при условии, что норматив ПФ в течение всего контролируемого периода не изменяется. На рис. 10.1 показана динамика ПФ.

Таблица 10.2 
Премиальный фонд по месяцам (млн. руб.)
Год	янв	фев	мар	апр	май	июн	июл	авг	сен	окт	ноя	дек	
2002	128	134	143	124	147	127	131	150	120	135	129	150	
2003	132	143	141	152	140	125	137	142	153	130	136	137	
2004	122	136	153	135	125	139	143	132	146	126	139	136	
2005	150	143	155	160	144	153	139	168	151				

	На основании табличных данных слабо прослеживается изменение среднего уровня ПФ в 2005 г. Построим карту Шухарта. Делаем предположение, что с 2002 по 2004 гг. норматив ПФ за месяц не менялся. Для расчета выборочного среднего арифметического значения и выборочной дисперсии воспользуемся данными 2002-2004 гг., поскольку в эти периоды ПФ считается стабильным, управляемым. 
	Среднее значение выборки рассчитываем по формуле:
млн.руб.
Выборочную дисперсию рассчитываем по формуле:

Выборочное среднеквадратическое отклонение таково:
 млн. руб.
	Будем использовать контрольную карту Шухарта, в которой границы регулирования отстоят от значения, соответствующего налаженному процессу, на 3 среднеквадратических отклонения. Тогда допустимые значения премиального фонда будут лежать в диапазоне , нижняя граница регулирования ПФ составит: (млн. руб.), а верхняя -  (млн. руб.).
	На основании расчетов построим контрольную карту премиального фонда (рис. 10.1). Анализ карты показывает, что в августе 2005 г. произошла разладка процесса, премиальный фонд превысил границу верхнюю границу регулирования. Необходимо выяснить причину разладки и принять решение о дальнейших действиях.
	Вариация значений ПФ затрудняет визуальный анализ контрольной карты и не позволяет понять тенденцию изменения среднего значения ПФ и вовремя заметить разладку. Решить эту проблему помогают карты кумулятивных сумм. Найдем кумулятивные суммы. Эталонное значение k выберем, как выборочное среднее арифметическое:  млн. руб.
	Далее рассчитываем кумулятивные суммы по формуле (10.22) (табл. 10.3). Карта кумсумм представлена на рис.10.2.

Таблица 10.3 
Значения кумулятивных сумм
Год	янв	фев	мар	апр	май	июн	июл	авг	сен	окт	ноя	дек	
2002	-9	-11	-5	-17	-7	-17	-22	-9	-26	-27	-35	-21	
2003	-26	-20	-15	0	4	-8	-8	-2	14	8	7	7	
2004	-7	-8	8	7	-5	-2	4	-1	9	-2	1	0	
2005	13	20	38	62	69	85	88	119	134				

	Именно наклон графика служит мерой измерения случайной величины. Так, в рассматриваемом случае, нулевой наклон означает, что система работает в своем среднем режиме 137 млн. руб. в мес. и т.д. согласно шкале кумулятивных сумм.
	Анализ карты свидетельствует о том, что уровень ПФ меняется в течение времени контроля:
	ПФ для первых 11 месяцев 2002г. = 134 млн. руб.;
	ПФ с декабря 2002г. по август 2003г. = 139 млн. руб.;
	ПФ с сентября 2003г. по декабрь 2004г. = 137 млн. руб.;
	ПФ с января 2005г. = 147 млн. руб.
	Пример демонстрирует достоинства контрольных карт кумулятивных сумм как средства визуального контроля. График кумулятивных сумм более чувствителен к выявлению изменений в уровне признака (ПФ), чем карта Шухарта, и, таким образом, карты кумулятивных сумм – хорошая графическая форма представления данных для визуального контроля. Карты кумулятивных сумм позволяют обнаружить постепенное изменение среднего значения параметра. Однако при этом методе целесообразно проверять на практике значимость любого обнаруженного изменения кумулятивных сумм, особенно в случаях, когда изменение признака нельзя объяснить какими-либо конкретными фактами.
	Многообразие контрольных карт. В разобранном примере рассматривался временной ряд значений контролируемого параметра. Часто используют временной ряд значений той или иной статистики, рассчитанной по выборке значений контролируемого параметра в рассматриваемый момент времени. Этой статистикой может быть выборочное среднее арифметическое значение, медиана, выборочные дисперсия, среднее квадратическое или размах, а также число дефектов или число дефектных единиц продукции, и т. д. Во всех этих случаях могут применяться контрольные карты Шухарта или карты кумулятивных сумм.
	Контрольные карты Шухарта предназначены для обнаружения резких изменений контролируемого параметра. Примером является поломка резца. В то же время постепенную разладку эти карты «чувствуют» не сразу. Это объясняется тем, что статистики, отражающие состояние процесса, рассматриваются независимо друг от друга, т. е. каждый последующий результат выборочного контроля никак не учитывает предыдущую информацию.
	Контрольные карты кумулятивных сумм наиболее чувствительны к постепенной разладке процесса. Примером является постепенное стачивание резца. В то же время на резкое отклонение контролируемого параметра они реагируют медленнее, чем карты Шухарта. Это объясняется тем, что для оценки состояния процесса здесь используются накопленные суммы выборочных статистик, например, кумулятивные суммы выборочных средних или кумулятивные суммы выборочных дисперсий. Таким образом, здесь учитывается не только результат контроля текущей выборки, но также используются результаты контроля предыдущих выборок. 
	Средняя длина серий. Чувствительность контрольной карты к разладке определяется средней длиной серии (СДС) выборок проходящего процесса. СДС определяется как среднее число выборок, предшествующих наладке технологического процесса при неизменном распределении вероятностей контролируемого параметра.
	При налаженном процессе сигнал о разладке является ложным, поэтому предпочтительным является максимально возможное значение СДС выборок L0. Чем больше значение L0, тем реже появляется сигнал о разладке при налаженном процессе. При разлаженном процессе, наоборот, предпочтительным является возможно меньшее значение СДС выборок L1. Чем меньше значение L1 при разлаженном процессе, тем быстрее будет обнаружена разладка процесса. 
	СДС определяет эффективность плана контроля с помощью контрольной карты. Наиболее эффективным планом контроля будет тот, который обеспечит, при равных исходных условиях, наибольшее значение СДС выборок налаженного процесса L0 и наименьшее значение СДС выборок разлаженного процесса L1. Однако оптимизация одновременно по двум критериям невозможна. Поэтому один из критериев переводят в ограничение, обычно связанный с L0. Величина L0 определяет положение границ регулирования.
	Метод контрольных карт в России. Судьба метода контрольных карт в России драматична. В 70-е гг. они стали внедряться на отечественных предприятиях, давая заметный экономический эффект. Появились государственные стандарты по статистическому регулированию технологических процессов, основанные на использовании контрольных карт. Однако Рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам (1985-1987) установила, что все государственные стандарты СССР по статистическому регулированию технологических процессов содержат грубейшие ошибки и их невозможно использовать ни как справочные, ни тем более как нормативные материалы [2]. Эти стандарты были отменены. К сожалению, ряд литературных источников, как и отмененные ГОСТы, содержит грубые ошибки.
	Диалоговая программная система СТАТКОН разработана в качестве замены ГОСТам с ошибками и содержит в себе все основные результаты теории контрольных карт. (Руководитель разработки системы СТАТКОН профессор Г.Ф. Филаретов (Московский энергетический институт) возглавлял подкомиссию по статистическому регулированию технологических процессов Рабочей группы.) В частности, в диалоговую систему СТАТКОН входят следующие разновидности контролирующих алгоритмов, относящиеся к группе алгоритмов кумулятивных сумм и предназначенные для обнаружения:
•	скачкообразного изменения математического ожидания гауссовского дискретного случайного процесса с независимыми наблюдениями;
•	линейного возрастающего изменения математического ожидания случайного процесса указанного типа;
•	скачкообразного изменения вектора математических ожиданий векторного гауссовского случайного процесса с независимыми наблюдениями;
•	скачкообразного изменения дисперсии для гауссовского дискретного процесса с независимыми наблюдениями;
•	скачкообразного изменения вероятности появления некоторого события в последовательности независимых случайных событий (нерандомизированный и рандомизированный варианты).
	В подавляющем большинстве технико-экономических ситуаций распределения элементов выборки отличны от нормальных (см. раздел 2.1 выше). Поэтому выводы, сделанные на основе использования при моделировании нормального распределения, имеют лишь теоретическое значение. Однако они дают первое представление о ситуации, первоначальные ориентиры, которые могут быть уточнены при более тщательном исследовании.
	На несколько иных принципах построена диалоговая система АВРОРА-РС «Анализ временных рядов и обнаружение разладки», разработанная под руководством к.т.н. И.В. Никифорова (академический Институт проблем управления) и д.ф.-м.н. А.А. Новикова (Математический институт им. В.А. Стеклова). К ее основным функциям относятся последовательное обнаружение изменения свойств независимых случайных последовательностей и зависимых случайных последовательностей типа авторегрессии с помощью ряда жестко настроенных и адаптивных алгоритмов скорейшего обнаружения, обнаружение изменения свойств многомерных сигналов, наблюдаемых с избыточностью, расчет статистических характеристик алгоритмов обнаружения, статистическое моделирование алгоритмов на специально генерируемых или вводимых пользователем данных, оптимальная настройка алгоритмов и подбор их характеристик, параметрический анализ временных рядов на основе авторегрессии.
	В нашей стране разработано большое число программных продуктов, посвященных статистическим методам управления качеством продукции [2].
	Итоги. В России активно разрабатываются теоретические, программные и практические вопросы статистических методов сертификации и управления качеством продукции. Некоторые из них кратко рассмотрены выше. Ранее разработанные нормативно-техническая и методическая документация, диалоговые компьютерные системы по статистическим методам продолжают использоваться, несмотря на социально-политические преобразования 1990-х гг. Стандарты СССР и СЭВ продолжают оставаться широко известными методическими документами, хотя СССР и СЭВ уже нет. Большое значение имеет работа по устранению ошибок в нормативно-технических и инструктивно-методических документах с целью уменьшения числа ошибок в практической работе. Важно создать такую систему управления в научно-технической сфере, чтобы никто не мог навязать стране свои ошибки в качестве стандартов, проигнорировав протесты ведущих специалистов. При этом условии внедрение современных статистических методов сертификации и управления качеством продукции могут дать нашей стране экономический эффект, измеряемый млрд. долл. в год. 

Литература

1. Статистические методы повышения качества. Перевод с японского / Под ред. Х. Кумэ. - М.: Финансы и статистика, 1990.-  301 с.
2. Орлов А.И. Сертификация и статистические методы // Заводская лаборатория. - 1997. - Т.63 - №3. - С.55-62.
3. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2006. - 576 с.
4. Кравченко Г.Г., Орлов А.И. О статистическом приемочном контроле порошкообразных материалов // Надежность и контроль качества. - 1991. - №2. - С.37-39.
5. Мердок Дж. Контрольные карты. / Пер. с англ. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 132 с.
6. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов. // Заводская лаборатория. - 1992. - Т.58.- №1. - С. 67-74.
7. Панде П., Холп Л. Что такое «Шесть сигм»? Революционный метод управления качеством / Пер. с англ. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. - 158 с.
8. Фалько С.Г., Орлов А.И. «Шесть сигм» как подход к совершенствованию бизнеса // Контроллинг. - 2004. - №4(12). - С.42-46.
9. Митрохин И.Н., Орлов А.И. Обнаружение разладки с помощью контрольных карт // Заводская лаборатория. - 2007. - Т.73. - №5. - С.74-78

Контрольные вопросы и задачи
 
1. Какие решения необходимо принимать в связи с качеством продукции и сертификацией?
2. Почему необходимо использование выборочного контроля?
3. Для плана (n, 0) с n = 27 найти приемочный уровень дефектности и браковочный уровень дефектности.
4. Для плана (n, 0) предел среднего выходного уровня дефектности не превышает t = 0,02. Каково минимально возможное n?
5. Даны приемочный уровень дефектности pпр = 0,03 и браковочный уровень дефектности pбр  = 0,09. Указать какой-либо допустимый план вида (n, с), т.е. план, значение оперативной характеристики которого в точке pпр  не меньше 0,95, а в точке pбр не больше 0,10.  
6. Как могли быть утверждены государственные стандарты по статистическим методам управления качеством продукции, содержащие грубейшие ошибки?
7. Чем контрольные карты Шухарта отличаются от карт кумулятивных сумм?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Комплексные системы управления качеством продукции и международные стандарты ИСО по менеджменту качества.
2. Экономическая эффективность усеченных планов статистического приемочного контроля.
3. Взаимосвязь технического уровня, качества и конкурентоспособности продукции.
4. Методы проведения статистического приемочного контроля порошкообразных материалов.
5. Различные варианты взаимодействия поставщика и потребителя в связи с системой принятием решений о качестве продукции. 
6. Расчет средней длины серий для контрольных карт Шухарта и карт кумулятивных сумм при скачкообразной и постепенной разладке.